23随机变量的分布函数与连续型随机变量资料

发布于:2021-07-31 09:49:52

第三节 随机变量的分布函数 与连续型随机变量 ?分布函数的定义及其性质 ?连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 ?几种重要的连续型随机变量 2019年6月23日星期日 1 目录 上页 下页 返回 一、分布函数的定义及性质 由于 P(x1 ? X ? x2 ) ? P( X ? x2 ) ? P( X ? x1) 为此我们引入随机变量的分布函数的概念如下: 定义:设X是一个随机变量,x是任意实数,函数 F(x) ? P(X ? x) 称为随机变量X的分布函数。 从而 P(x1 ? X ? x2 ) ? P( X ? x2 ) ? P( X ? x1) ? F (x2 ) ? F (x1) 也就是说,可以通过分布函数,计算随机变量落在任意 一个区间的概率。 2019年6月23日星期日 2 目录 上页 下页 返回 不加证明地给出分布函数的一些性质: (1)(单调性) 对于任意实数 x1, x2 , (x1 ? x2 ) ,有 F (x1) ? F (x2 ) (2)(有界性) 0 ? F(x) ?1, lim F(x) ? 0, lim F(x) ?1 x??? x??? F(??) ? P{X ? ??} 不可能事件 F(??) ? P{X ? ??} 必然事件 (3)(右连续性) lim x ? x0? F (x) ? F ( x0 ) 2019年6月23日星期日 3 目录 上页 下页 返回 例:若随机变量X的分布律为 X 1234 1111 pk 4 2 8 8 则随机变量X的分布函数为 ? 0, x ?1 ? P?X ?1?, F ( x) ? ?? ? P?X ?1?? P?X ? 2? 1? x ? 2 2? x?3 ? P?X ?1?? P?X ? 2?? P?X ? 3? ? 3? x?4 ?? P?X ?1?? P?X ? 2?? P?X ? 3?? P?X ? 4? 4 ? x 2019年6月23日星期日 4 目录 上页 下页 返回 即 ? 0, ? ? 1 , ?4 F (x) ? ?? ? 3 , ?4 ? ? ? 7 8 , ?? 1, x ? 1, 1 ? x ? 2, 2 ? x ? 3, 3 ? x ? 4, 4 ? x. 分布函数的图像如下: F ( x) 1 7 8 3 4 1 4 。 。 。 1 2 3 4x 分布函数的图像是一个右连续的阶梯形。且在间断 点处的跳跃值等于X取这个值的概率。例如 31 1 P(X ? 2) ? ? ? 2019年6月23日星期日 5 4 4 2 目录 上页 下页 返回 二、连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 定义:设F(x)是随机变量X的分布函数,若存在非负 可积函数f(x),使得对任意实数x,有 x ? F (x) ? f (t)dt ?? 称X为连续型随机变量,称f(x)为X的概率密度函数,或 密度函数,也称概率密度。 2019年6月23日星期日 6 目录 上页 下页 返回 性质:1. f (x) ? 0 y ?? ?2. ?? f (x)dx ? 1 f (x) 1 1 O x 从图形上来看,性质1表示X的概率密度f(x)位于x轴上方, 性质2表示f(x)与x轴所围区域面积等于1. 2019年6月23日星期日 7 目录 上页 下页 返回 3.对于任意实数 x1, x2 , (x1 ? x2 ),有 ? P(x1 ? X ? x2) ? F(x2) ? F(x1) ? x2 f (x)dx x1 y 从图形上来看,性质3表示 f (x) 1 O x1 x2 X落在区域 (x1, x2 ]的概率 等于相应的曲边梯形的面 x 积。 4.若f(x)在点x处连续,则 F?(x) ? f (x) 对于连续型随机变量X 来说,通过F(x)求导得f(x) , 2019年6通月过23日f(星x)期积日分得F(x)。 8 目录 上页 下页 返回 5.连续型随机变量取任一指定实数值的概率为零. 即 P?X ? x0? ? 0 由性质5,易得: P(x1 ? X ? x2 ) ? P(x1 ? X ? x2 ) ? P(x1 ? X ? x2 ) ? ? P(x1 ? X ? x2) ? x2 f (x)dx x1 注:对离散型随机变量,上式不成立。 2019年6月23日星期日 9 目录 上页 下页 返回 例:若随机变量X的概率密度为 ?C(4x ? 2x2 ), 0 ? x ? 2, f (x) ? ? ? 0, 其它. (1)求C的值; (2)X的分布函数;(3)P{X>1}. ?? ? 解:(1)由于 f (x)dx ? 1,有 ?? ?C 2 (4x ? 2x2 )dx ? 1 0 得 C?3 8 2019年6月23日星期日 10 目录 上页 下页 返回 ? (2)由F (x) ? x f (t)dt ,有 ?? ? ? F ( x) ? ?? ? ? x ? 0dx, ?? ? ? 0 0dx ? x 3 (4x ? 2x2 )dx, ?? 08 ? ? ? ? ?? 0 0dx ? ?? 2 3 (4x ? 2x2 )dx ? 08 x 0dx, 2 x ? 0, 0 ? x ? 2, x ? 2. 即 ? 0, F ( x) ? ?? ? ? 3 4 x2 ? 1 4 x3, ?? 1, x ? 0, 0 ? x ? 2, x ? 2. 分段 讨论 2019年6月23日星期日 11 目录 上页 下页 返回 ? (3) ? P?

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