2.4无穷小与无穷大

发布于:2021-10-23 16:20:51

第二章 *题四 无穷大与无穷小

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*题四 无穷小与无穷大

一、解:1.因 lim 1 ? 0 ,所以 x ? ? 时 1 为无穷小.

x?? x ? 1

x ?1

1

1

2.因 lim e x ? lim e ? x

x?0 ?

x?0?

? lim x?0?

1
1

1
? 0 ,所以 x ? 0? 时 e x 为无穷小.

ex

二、解:1.因 lim ln(x ?1) ? ??, lim ln(x ?1) ? ??,所以 x ? ?1?

x??1?

x??? ?

及 x ? ??时, ln(x ?1) 均为无穷大量.

2.因 lim x??

6x3 3x 2

? ?

7 3

?

?

,所以

x

?

?



y

?

6x3 3x 2

? ?

7 3

为无穷大量.

三、解:1. lim x ?1 ? 0 ,所以 x ? ?1时, x ?1 是无穷小量, x ?1 是

x??1 x ? 1

x ?1

x ?1

无穷大.

2. lim x ?1 ? 0 ,所以 x ?1时, x ?1 是无穷小.

x?1 x ? 1

x ?1

四、解:1. lim 1 ? 0 ,即 1 是 x ? ??时的无穷小;又 sin x ? 1,所

x??? x

x

以 sin x 是有界变量,因此 lim sin x ? lim 1 sin x ? 0 .

x??? x

x??? x

2 . lim 3x ? 0, 即 3x为x ? 0 时 的 无 穷 小 , 而 x?0

sin 1 x3

? 1,

所以

lim 3x sin 1 ? 0.

x?0

x3

五、解:lim x?0

sin 3 x 4x2

=

lim
x?0

sin 2 x 4x2

?

sin

x

?

lim
x?0

1 4

?

sin 2 x2

x

?

lim
x?0

sin

x

?

0

,所

以 sin3 x是比4x2 高阶的无穷小.

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第二章 *题四 无穷大与无穷小

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六、证:由极限运算及等价无穷小定义:

1.lim tan x ? lim sin x ? lim sin x ? lim cosx ? 1,所以 x ? 0 时,

x?0 x

x?0 x ? cos x x?0 x x?0

tan x ~ x ;

2 . lim

ln(1? x)

?

1
lim ln(1 ? x) x

?

1
ln[lim (1 ? x) x ] ? ln e ? 1 , 所 以

x?0

x

x?0

x?0

x ? 0 时, ln(1? x) ~ x ;

3.lim sin 2x ? lim 2sin x cosx ? lim sin x lim cosx ? 1,所以 x ? 0

x?0 2x

x?0

2x

x x?0

x?0

时, sin 2x ~ 2x .

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